برای خاطر علاقه، این ODE تفسیر فیزیکی به عنوان یک نوسانگر هارمونیک میرا محور YP نشان دهنده حالت ثابت، و c_1y_1 + c_2y_2 گذرا است.
معادله با ضرایب متغیر
خطی ODE از مرتبه n با ضرایب متغیر به صورت کلی
p_ {N} (x) Y ^ {(n)} (x) + p_ {n-1} (x) Y ^ {(n-1)} (x) + \ نقاط + p_0 (x) Y (x ) = R (x).
به عنوان مثال
یک مثال ساده این است که معادله کوشی اویلر اغلب در رشته های مهندسی استفاده می شود
X ^ نیویورک ^ {(n)} (x) + A_ {n-1} X ^ {n-1} Y ^ {(n-1)} (x) + \ نقاط + a_0 Y (x) = 0.
معادله مرتبه اول
به عنوان مثال
حل معادله
Y '(x) 3 Y (x) = 2 \،
با شرایط اولیه
Y \ چپ (0 \ حق) = 2. \،
با استفاده از روش راه حل کلی:
Y = E ^ {-3X} \ چپ (\ دانشنامه هوشمند 2 E ^ {3X} \، DX + \ کاپا \ حق). \،
انتگرال نامعین حل شده است به من بدهید:
Y = E ^ {-3X} \ چپ (2/3 E ^ {3X} + \ کاپا \ سمت راست). \،
سپس ما می تواند به کاهش به:
Y = 2/3 + \ کاپا E ^ {-3X}. \،
که در آن κ است 4/3 از شرایط اولیه است.
ODE خطی نظم (1) با ضرایب متغیر به صورت کلی
Dy با (x) + f (x) Y (x) = G (x).
که در آن D اپراتور دیفرانسیل است. معادلات این فرم ها را می توان با ضرب عامل ادغام حل
E ^ {\ نوع int f (x) \، DX}
در سراسر برای به دست آوردن
Dy با (X) E ^ {\ نوع int f (x) \، DX} + F (x) Y (x) E ^ {\ نوع int f (x) \، DX} = G (x) E ^ {\ اعضای هیات F (x) \، DX}
ساده که با توجه به قانون محصول
D (Y (x) E ^ {\ نوع int f (x) \، DX}) = G (x) E ^ {\ نوع int f (x) \، DX}
که ادغام هر دو طرف، عملکرد
Y (x) E ^ {\ نوع int f (x) \، DX} = \ اعضای هیات G (x) E ^ {\ نوع int f (x) \، DX} \، DX + C ~،
Y (x) = {\ اعضای هیات G (x) E ^ {\ نوع int f (x) \، DX} \، DX + \ C بیش از E ^ {\ نوع int f (x) \، DX}} ~.
به عبارت دیگر: راه حل ODE از مرتبه اول خطی
Y '(x) + f (x) Y (x) = G (x)،
با ضرایب است که ممکن است یا نه ممکن است متفاوت باشد با X است:
Y = E ^ {-A (x)} \ چپ (\ اعضای هیات G (x) E ^ {(x)} \، DX + \ کاپا \ حق)
که در آن \ کاپا ثابت از ادغام است، و
(x) = \ نوع int {f (x) \، DX}.
فرم جمع و جور راه حل کلی است (نگاه کنید به ریاضی J. شیمی 48 (2010) 175.):
Y (x) = \ int_a ^ X \! {[Y () \ دلتا (TA) + G (t)] E ^ {- \ int_t ^ X \ F (u) رقیق} \، DT!} \.
که در آن \ دلتا (x) تعمیم تابع دلتای دیراک است.
به عنوان مثال
مرتبه اول معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید:
\ FRAC {DY} {DX} + B Y = 1.
این معادله است که به ویژه مربوط به سیستم های مرتبه اول مانند مدارهای RC و سیستم های میراگر جرم است.
در این صورت، f (x) = B، G (x) = 1.
از این رو راه حل آن
Y (x) = E ^ {-BX} \ چپ (E ^ {BX} / B + C: \ راست) = 1 / B + C E ^ {-BX}.
سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی
خودسرانه خطی معادلات دیفرانسیل معمولی و یا حتی یک سیستم معادلات را می توان به سیستم مرتبه اول معادلات دیفرانسیل خطی با اضافه کردن متغیر برای همه بالاترین مشتقات منظور تبدیل می شود. یک سیستم خطی را می توان به عنوان یک معادله با یک متغیر بردار ارزش مشاهده شده است. درمان کلی مشابه به درمان بالاتر از عادی مرتبه اول معادلات دیفرانسیل خطی است، اما با عوارض ناشی از noncommutativity ضرب ماتریس.
برای حل
Y '(x) = A (x) Y (x) + B (x) Y (x0) = Y0 (Y (x) است که یک بردار یا ماتریس، و A (x) یک ماتریس)،
اجازه دهید U (x) راه حل Y '(x) = A (x) Y (x) با U (x0) = I (ماتریس). U یک ماتریس اساسی برای معادله است - ستون U به صورت یک مجموعه کامل خطی مستقل از راه حل های برای معادله همگن است. پس از جایگزین Y (x) = U (x) Z (x)، معادله Y '(x) = A (x) Y (x) + B (x) ساده به U (x) Z' (x) = B (x). به این ترتیب،
\ mathbf {Y} (x) = U (x) \ mathbf {y_0} + U (x) \ int_ {x_0} ^ X U ^ {-1} (x) \ mathbf {B} (x) \، DX
اگر رفت و آمد (x1) با (X2) برای تمام X1 و X2، پس از آن U (x) = E ^ {\ int_ {x_0} ^ X A (x) \، DX} (و در نتیجه U ^ {-1} (X) = E ^ {- \ int_ {x_0} ^ X (x) \، DX})، اما در حالت کلی هیچ راه حل فرم بسته وجود دارد،
تبادل
لینک هوشمند
